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By Nikolsky S.M.

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ZESP'Y 'Y Beweis: Nach dem Hilfssatz haben wir b \ Sf(Z)dZ\=\S b f("(t))"('(t)dt\~Jlf('Y(t))"('(t)ldt, a 'Y a dabei ist [a, b] das Definitionsintervall von 'Y. 1st M das Maximum von If I auf SP'Y, so gilt If('Y (t))"(' (t)1 ~ MI 'Y' (t)l, und wir bekommen weiter J b b S If('Y(t))"('(t)ldt~M 1'Y'(t)ldt=M' L('Y). a a o Die nachsten Satze sind Folgerungen aus der Substitutionsregel. Wir mtissen zunachst den Begriff der Parametertransformation prlizisieren. 3. Es seien lund J kompakte reel/e Interval/e.

N § 8. Elementare Funktionen Wir benutzen die Ergebnisse des letzten Paragraphen, urn die Exponentialfunktion und die trigonometrischen Funktionen auch fUr komplexes Argument zu definieren und zu untersuchen. ;. 00 Die Potenzreihe v=o ZV konvergiert bekanntlich fUr jedes reelle z. Ihr Konvergenz- 31 § 8. Elementare Funktionen kreis enth1Ht also JR, muB daher mit der ganzen Ebene CC libereinstimmen. Wir k6nnen daher fUr beliebiges z E CC definieren 00 exp z = ' " 1... ZV (1) ~ v! 4 eine auf CC holomorphe Funktion, die auf JR mit der reellen Exponentialfunktion libereinstimmt.

Z 0 + t (z 1 - z 0) die Verbindungsstrecke von z 0 nach z 1. Wir bezeichnen diesen Weg mit [z 0, z d. 3. • ,Zn E CC gegeben, so definieren wir einen Integrationsweg 'Y: [0, n] ~ CC durch 'Y(t) =Zk + (t - k)(Zk + 1 - Zk), falls t E [k, k + I]. Die Spur von 'Y ist ein "Streckenzug", wir schreiben 'Y = [z 0, Z 10 ••• , Z n]. Hat man speziell ein Dreieck Ll mit den Ecken zo, Z10 Z2, so parametrisiert [zo, Z10 Z2, zo] den Rand all. Das letzte Beispiellegt es nahe, das Zusammensetzen und Unterteilen von Integrationswegen einzuflihren.

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